Measure and Integration, Fall 2025

Мера и интеграл. Осень 2025/2026 учебного года

(лектор А. Ю. Пирковский, семинары М. Л. Бланк, И. В. Вьюгин, А. И. Тюленев, Е. В. Юрова)

Программа

Страница курса "Мера и интеграл" 2016/2017 учебного года

Объявления

16.11.2025. Выложен листок 2 (см. ниже).
13.11.2025. Выложен 6-й список задач для семинаров.
18.10.2025. Выложена программа коллоквиума 27.10.2025.
18.10.2025. Выложен 5-й список задач для семинаров.
15.10.2025. Дедлайн по листку 1 продлен до 26 октября.
10.10.2025. Выложен 4-й список задач для семинаров.
27.09.2025. Опубликованы правила сдачи листков. Выложен листок 1 (см. ниже).
25.09.2025. Выложен 3-й список задач для семинаров.

Лекции

Плейлист

Лекция 1 (05.09.2025) (видеозапись): Введение: что и на чём можно интегрировать. Историческая справка о теории меры и об интеграле Лебега. Алгебры, σ-алгебры и полуалгебры множеств; примеры. Описание алгебры, порожденной полуалгеброй. Борелевская σ-алгебра. Измеримые пространства и измеримые отображения.
Лекция 2 (08.09.2025) (видеозапись): Измеримые отображения, борелевские отображения. Прямой образ σ-алгебры и критерий измеримости отображения. Произведения измеримых пространств. Борелевская σ-алгебра произведения топологических пространств со счетной базой. Основные свойства измеримых отображений. Меры. Простейшие примеры мер.
Лекция 3 (15.09.2025) (видеозапись): Примеры мер. Мера Лебега на полуалгебре стандартных параллелепипедов в Rⁿ. Продолжение меры с полуалгебры на порожденную ей алгебру. Свойства мер и критерии σ-аддитивности. σ-аддитивность меры Лебега.
Лекция 4 (22.09.2025) (видеозапись): Внешние меры. Внешняя мера, порожденная мерой на алгебре множеств. Измеримость множеств по Каратеодори. Теорема Каратеодори.
Лекция 5 (29.09.2025) (видеозапись): Теорема Фреше о единственности продолжения меры. Эквивалентные определения измеримости для случая конечных мер. Мера Лебега в Rⁿ. Ее инвариантность относительно сдвигов. Существование неизмеримых по Лебегу множеств.
Лекция 6 (06.10.2025) (видеозапись): Регулярность меры Лебега. Аппроксимация измеримых множеств множествами типа F_σ и G_δ с точностью до множеств меры 0. Сохранение свойства измеримости множеств (и множеств меры 0) при локально липшицевом отображении.
Лекция 7 (13.10.2025) (видеозапись): Сохранение свойства измеримости множеств (и множеств меры 0) при локально липшицевом отображении. Мера гладкого подмногообразия в Rⁿ меньшей размерности. Характеризация меры Лебега в Rⁿ в терминах инвариантности относительно сдвигов. Сохранение меры Лебега при движениях. Поведение меры Лебега при линейных преобразованиях.
Лекция 8 (20.10.2025) (видеозапись): Полные пространства с мерой. Свойства измеримых функций на полных пространствах с мерой. Пополнение пространства с мерой. Связь с продолжением по Каратеодори. Общая схема построения интеграла Лебега (план). Простые функции на измеримом пространстве. Аппроксимация измеримых функций простыми. Связь измеримости функций относительно исходной и пополненной σ-алгебр.
Лекция 9 (03.11.2025) (видеозапись): Интеграл Лебега для неотрицательных простых функций; его свойства. Интеграл Лебега для неотрицательных измеримых функций. Теорема о монотонной сходимости и теорема Фату для неотрицательных функций. Счетная аддитивность интеграла. Интеграл как функция множества. Интегрируемость и интеграл для функций со значениями в R и C.
Лекция 10 (10.11.2025) (видеозапись): Простейшие свойства интеграла. Полунормированное пространство интегрируемых функций. Роль множеств меры 0 в теории интегрирования. Теорема о монотонной сходимости для интегрируемых функций.
Лекция 11 (17.11.2025) (видеозапись): Теорема Фату для интегрируемых функций. Теорема Лебега о мажорированной сходимости. Связь интегралов Римана и Лебега. Замечания о критерии Лебега интегрируемости по Риману. Интеграл Лебега и несобственный интеграл.